两周前，一篇看似不起眼的论文被上传到arXiv预印本服务器，标题并不张扬“关于希尔伯特空间中的不变子空间问题”。该论文只有13页长，其参考文献列表仅包含一个条目。

这篇论文据称包含了数学家半个多世纪以来一直在拼图的最后一块拼图：不变子空间问题。

著名的开放性问题通常会吸引一些雄心勃勃的尝试，通过有趣的人物来解决他们的名字。但这种努力通常很快就会被专家否决。

然而，这篇简短笔记的作者、瑞典数学家PerEnflo并不是一个雄心勃勃的后起之秀。他快80岁了，因解决开放性问题而出名，并且在解决手头问题方面经验丰富。

Enflo生于1944年，现在是俄亥俄州肯特州立大学的名誉教授，他的职业生涯非常出色，不仅在数学领域，而且在音乐领域。

他是一位著名的音乐会钢琴家，曾演奏和录制过无数钢琴协奏曲，并在世界各地进行过独奏和与管弦乐队的合作。

Enflo还是泛函分析领域最出色的问题解决者之一。除了他在不变子空间问题上的工作外，Enflo还解决了另外两个主要问题——基础问题和逼近问题——这两个问题都悬而未决了40多年。

通过解决近似问题，Enflo破解了一个等价的难题，称为Mazur'sgooseproblem。波兰数学家斯坦尼斯瓦夫·马祖尔(StanisławMazur)曾在1936年承诺，任何解决他的问题的人都会得到一只活鹅——1972年，他信守诺言，将这只鹅送给了Enflo。

什么是不变子空间?

现在我们知道主角了。但是不变子空间问题本身呢?

如果你曾经学习过线性代数大学一年级课程，你会遇到称为向量、矩阵和特征向量的东西。如果你还没有，我们可以把向量想象成一个有长度和方向的箭头，存在于一个特定的向量空间中。(有许多不同的向量空间，具有不同的维数和不同的规则。)

矩阵是可以通过改变线的方向和/或长度来转换向量的东西。如果特定矩阵仅变换特定向量的长度(意味着方向相同或翻转方向相反)，我们称该向量为矩阵的特征向量。

另一种思考方式是说矩阵将特征向量(以及与它们平行的任何线)转换回自身：这些线对于该矩阵是不变的。总之，我们称这些线为矩阵的不变子空间。

除了数学之外，特征向量和不变子空间也很有趣——举个例子，据说谷歌的成功归功于“价值250亿美元的特征向量”。

无限维数的空间呢?

所以这是一个不变的子空间。不变子空间问题稍微复杂一些：它是关于具有无限维数的空间，它询问是否这些空间中的每个线性算子(矩阵的等价物)都必须有一个不变子空间。

更准确地说(抓住你的帽子)：不变子空间问题询问是否每个有界线性算子T在复数Banach空间X上都承认X的一个非平凡不变子空间M，在这个意义上有一个子空间M≠{0},X的X使得T(M)包含在M中。

换句话说，不变子空间问题是在上个世纪中叶提出的，并且逃避了所有解决方案的尝试。

但是，当数学家无法解决问题时，我们通常会移动球门柱。研究这个问题的数学家通过将问题限制在特定类别的空间和运算符来缩小他们的关注范围。

第一个突破是由Enflo在1970年代取得的(尽管他的结果直到1987年才发表)。他通过在没有非平凡不变子空间的Banach空间上构造算子来否定地回答了这个问题。

这个新提议的解决方案有什么新内容?

那么不变子空间问题的现状如何呢?如果Enflo在1987年解决了它，为什么他又解决了它?

嗯，Enflo解决了一般Banach空间的问题。但是，有一种特别重要的巴拿赫空间叫做希尔伯特空间，它具有很强的几何意义，广泛应用于物理学、经济学和应用数学。

解决希尔伯特空间上算子的不变子空间问题一直非常困难，而Enflo声称已经实现了这一点。

这一次Enflo的回答是肯定的：他的论文认为Hilbert空间上的每个有界线性算子确实有一个不变的子空间。

专家评审还在后头

我没有逐行阅读Enflo的预印本。据报道，Enflo本人对该解决方案持谨慎态度，因为它尚未经过专家审查。

对Enflo早期证明的同行评审，对于一般的Banach空间，花费了数年时间。然而，那篇论文有100多页，因此对13页新论文的审阅速度应该快得多。

如果正确的话，那将是一项了不起的成就，尤其是对于一个在如此长的时间跨度内已经取得如此多非凡成就的人来说。Enflo对数学的许多贡献，以及他对许多未解决问题的回答，对该领域产生了重大影响，产生了新的技术和想法。

我期待着了解Enflo的工作现在是否结束了关于不变子空间问题的书，并期待着看到它的结论中可能出现的新数学。

版权说明：本站所有作品图文均由用户自行上传分享，仅供网友学习交流。若您的权利被侵害，请联系我们

标签：空间问题Enflo