在科学中，假设最少的解释最有可能是正确的。这个原则被称为“奥卡姆剃刀”，几个世纪以来一直指导着理论和实验。但是你如何比较抽象概念呢?

在一篇新论文中，来自加州大学圣巴巴拉分校和加州大学尔湾分校的哲学家们讨论了如何通过比较其基础数学来衡量科学理论的复杂性。他们的目标是使用对称性来表征一个理论所具有的结构数量——或者一个物体在发生其他变化时保持不变的方面。

经过多次讨论，作者最终怀疑对称性能否提供他们需要的框架。然而，他们确实揭示了为什么它是理解结构的绝佳指南。他们的论文发表在Synthese杂志上。

加州大学圣巴巴拉分校哲学系副教授、主要作者ThomasBarrett说：“科学理论通常不会把它们的解释放在袖子上，所以很难准确地说出它们在告诉你关于这个世界的什么。”“尤其是现代理论。他们只是在这个世纪变得更加数学化。”了解不同理论中的结构数量可以帮助我们理解他们所说的内容，甚至可以让我们有理由更喜欢一个理论。

结构还可以帮助我们识别两个想法何时真的是同一个理论，只是披着不同的外衣。例如，在20世纪初，维尔纳海森堡和欧文薛定谔形成了两个独立的量子力学理论。“他们讨厌彼此的理论，”巴雷特说。薛定谔认为他同事的理论“缺乏可视化”。与此同时，海森堡发现薛定谔的理论“令人厌恶”，并声称“薛定谔所写的关于可视化能力的文章[...]是垃圾。”

但是，尽管这两个概念看起来截然不同，但它们实际上做出了相同的预测。大约十年后，他们的同事约翰·冯·诺依曼证明了这些公式在数学上是等价的。

苹果和橙子

检查数学对象的常用方法是查看其对称性。这个想法是更多的对称对象具有更简单的结构。例如，将具有无限多个旋转对称和反射对称的圆与只有一个的箭头进行比较。从这个意义上说，圆比箭头更简单，需要更少的数学来描述。

作者使用自同构将这个规则扩展到更抽象的数学。这些函数比较对象的各个部分，在某种意义上，这些部分彼此“相同”。自同构为我们提供了一种衡量不同理论结构的启发式方法：更复杂的理论具有更少的自同构。

2012年，两位哲学家提出了一种比较不同理论结构复杂性的方法。当且仅当X的自同构是Y的自同构的子集时，数学对象X至少具有与另一个对象Y一样多的结构。再次考虑圆。现在将它与半红色的圆圈进行比较。由于添加到系统中的额外结构，阴影圆圈现在只具有它过去的一些对称性。

这是一个很好的尝试，但它过于依赖具有相同类型对称性的对象。这对于形状很有效，但对于更复杂的数学来说就分崩离析了。

新加坡国立大学的IsaacWilhelm试图修复这种敏感性。我们应该能够比较不同类型的对称群，只要我们能找到它们之间的对应关系，保持每个对称群的内部框架。例如，标记蓝图可在图片和保留建筑物内部布局的建筑物之间建立对应关系。

这一变化使我们能够比较非常不同的数学理论的结构，但它也会吐出错误的答案。“不幸的是，威廉在这方面走得太远了，”巴雷特说。“不仅仅是任何信件都可以。”

具有挑战性的尝试

在他们最近的论文中，Barrett和他的合著者JBManchak和JamesWeatherall试图通过限制他们会考虑的对称或自同构类型来挽救他们同事的进步。也许只有来自底层对象(例如圆圈和箭头)而不是它们的对称群的对应关系才是正确的。

不幸的是，这种尝试也失败了。事实上，似乎用对称性来比较数学结构可能是原理上注定的。考虑一个不对称的形状。也许是墨迹。嗯，世界上不止一种墨迹，每一种都完全不对称，完全不同。但是，它们都有相同的对称群——即没有对称群——所以所有这些系统都将墨迹归类为具有相同的复杂性，即使其中一些比其他的要复杂得多。

这个墨迹示例表明，我们无法仅通过观察其对称性来了解有关对象结构复杂性的所有信息。正如Barrett解释的那样，一个物体所允许的对称性数量最低为零。但是一个对象可以拥有的复杂程度并没有相应的上限。这种不匹配造成了结构复杂性上限的错觉。

作者在其中揭露了真正的问题。对称的概念对于描述结构非常有用。然而，它没有捕获足够的关于数学对象的信息——以及它所代表的科学理论——以允许对复杂性进行彻底的比较。寻找能够做到这一点的系统将继续让学者们忙个不停。

一线希望

虽然对称性可能无法提供作者所希望的解决方案，但他们揭示了一个关键的见解：对称性触及了物体自然而有机地配备的概念。这样，它们就可以用来比较不同理论和系统的结构。“这个想法为你提供了一个直观的解释，说明为什么对称性是结构的良好指南，”巴雷特说。作者写道，这个想法值得保留，即使哲学家不得不放弃使用自同构来比较结构。

幸运的是，自同构并不是数学中唯一的对称类型。例如，我们不仅可以查看全局对称性，还可以查看局部区域的对称性并进行比较。巴雷特目前正在研究这将导致什么结果，并努力描述根据另一种结构定义一种结构意味着什么。

尽管清晰度仍然难以捉摸，但这篇论文为哲学家们提供了一个目标。我们不知道在这个充满挑战的攀登过程中，我们走了多远才能达到理解的顶峰。前方的道路笼罩在迷雾中，甚至可能无法到达顶峰。但是当我们继续攀登时，对称性提供了一个锚点来锚定我们的绳索。

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标签：结构理论对称性