如何确定哪些点位于某条曲线上?给定点数，可以计算出多少条可能的曲线?这些都是数学研究所的PimSpelier在攻读博士学位期间研究的问题。Spelier于6月12日以优异成绩获得博士学位。

计算曲线，在平常的日子里这意味着什么?“长时间坐着和凝视，”斯佩利尔回答道。“当有人问我到底做什么时，我总是不能轻易回答。通常我会举粒子穿越时间的例子。”

所有可能的曲线

想象一个粒子在空间中移动，你跟随粒子在时间中移动的路径。那条路径是一条曲线，一个几何对象。如果我们假设某些属性，粒子可以遵循多少条可能的路径?例如，直线只能以一种方式经过两个点。但是，如果我们观察更复杂的曲线，粒子可能有多少条路径?你如何研究它?

通过同时观察所有可能的曲线。例如，从给定点出发的所有可能方向相互形成一个圆，这被称为模空间。而这个圆本身就是一个几何对象。

斯佩利尔说，数学魔法之所以能够发生，是因为这组曲线本身具有几何属性，你可以对其应用几何技巧。接下来，你可以用更复杂的曲线和空间使其变得更加复杂。所以不是在三维空间中计算，而是在十一维空间中计算。

斯佩利尔试图找到他所研究的曲线所适用的模式。他的方法是什么?将复杂的空间分解成小而简单的空间。你也可以将曲线分解成部分曲线。这样，你计算的空间就更容易了。但曲线有时会具有复杂的属性，因为你必须能够将它们重新粘合在一起。

Spelier说道：“我们的目标是找到足够多的原理来精确确定曲线的数量。”

寻求曲线上点的证明

除了曲线，斯佩利尔还计算了曲线上的点。他研究了这样一个问题：给定的数学方程有多少个解?

这些方程比勾股定理中的a2+b2=c2稍微复杂一些。该方程是关于直角三角形边长。如果用更高的幂代替平方，则更难找到解。斯佩利尔研究了整数解，例如32+42=52。

与此同时，有一种方法可以找到这些解决方案。2022年去世的数学教授BasEdixhoven和他的博士生GuidoLido为同一问题开发了一种替代方法。但这两种方法在多大程度上相似和不同仍不清楚。在博士研究期间，Spelier开发了一种算法来研究这一点。

第一个回答的人

开发该算法对于实现该方法是必要的。如果你想手工完成，你会得到一页又一页的方程式。Edixhoven的方法使用代数几何。通过巧妙的几何技巧，你可以精确计算给定曲线的整数点数。Spelier证明了Edixhoven-Lido方法比旧方法更好。

纯数学教授兼斯佩利尔导师戴维·霍姆斯(DavidHolmes)对所提供的证明表示赞赏。“当你是第一个回答我们社区中每个人都想知道答案的问题的人时，这非常令人印象深刻。皮姆证明了这两种寻找有理点的方法是相似的，这个问题确实让数学家们忙个不停。”

一起做数学

攻读博士学位期间最棒的部分是什么?与导师见面。第一年之后，斯佩利尔和霍姆斯都更多地是合作而不是指导。斯佩利尔说：“一起做数学比独自做更有趣。”

斯佩利尔将于9月在乌得勒支开始博士后研究，显然他的计算工作还没有结束。在计算完点和曲线后，他很快就会开始计算表面。

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